非球面的应用能够显著提升光学系统的光学性简化光学系统结构,非球面的镜面抛光机也越来越受者的重视.但由于非球面自身的对称性与球面别,使其不能够适用传统的球面加工原理进行.现对于回转对称的二次曲面加工法一般使用母线铣磨加工法或者用线接触加工方法.本文根据某文献建立的基于椭圆路径的铣磨过差模型,结合误差测量和评估技术,加工后通过型将误差项辨识出来,然后在下次加工中予以以提高加工精度.同时,鉴于误差传递函数的性,本文分析了合并,分开辨识相似误差所引入差,以此得到处理相似误差的策略,提高算法的
1误差辨识策略
若实际面形误差测量和评估过程中与误差模型建立所采用的误差准则是一致的,则在一定的精度范围内,由误差模型在某组误差向量下仿真出的面形误差εs与最终工件面形测量评估后所得面形误差εc之间存在等价关系:εc=εs+υ(1)
其中υ为两者之间的差异,认为是噪声.通常,由于各误差因素与最终面形之间存在复杂的非线性关系,式(1)为以非线性方程,利用式(1)通过某种辨识算法可以将各误差项辨识出来.这里进行误差辨识,相当于把镜面抛光机加工过程和机床看成一个多输入单输出的误差形成系统,其输入是各误差因素,输出是加工工件的面形误差.引入误差辨识,反馈再加工后非球面铣磨加工流程[3]如下:
图1误差辨识,补偿流程图
2误差辨识线性模型
基于椭圆路径的二次曲面铣磨误差模型[5]给出了各项误差因素与最终面形误差之间的线性关系,从而将式(1)简化为一线性方程,可以利用现有的线性系统辨识算法辨识出各误差因素.同时,我们应该注意到,某些误差因素对最终面形误差的传递函数之间存在相似性[8],这会对误差辨识的精度产生影响,本文也对此进行相关分析,并提出解决方法.
2.1线性模型辨识算法
利用最小二乘准则建立的基于椭圆路径铣磨误差模型给出了各误差项对实际面形影响的一阶线性近似为:εs=ζTδ(2) 其中:

δ=[δtδyrδfδα_tδα_yrδα_f gp]T为误差向量,这里我们称ζ为误差传递函数矩阵,其各项称为对应误差的传递函数,其中r为回转半径.测量评估出加工工件的面形误差εc(r)后可用最小二乘准则对上式中的误差矢量进行辨识,最小二乘法辨识要求极小化下列准则函数:
其中积分路径s是曲面测量评估的弧段.要使式(4)取极小值,根据微积分相关理论必有下式成立:
从而:
实际上面形的测量数据都是离散的,故要将式(6)误差辨识结果进行离散化,结果如式(7):
δ=(ETE)-1ETε (7)
其中:
ε=[ε(r1)ε(r2)Lε(rn)]T
E=[ζ(r1)ζ(r2)Lζ(rn)]T (8)
2.2相似项处理方法
若式(6)中误差传递函数向量有两个函数近似成比例的时候,A就可能为病态矩阵,其条件数将很大,从而逆矩阵就可能不存在或求解的精度很低,影响辨识精度.下面对这一情形进行具体研究.用函数相关系数来衡量由合并估计相关性很大的误差项而引入的辨识系统误差,不合并估计相关性很大的误差项由计算和测量噪声引入的辨识随机误差.以下的分析中设ζ(x)=[f1(v)f2(x)]T,函数fi(x)(i=1,2)为定义在[a b]上的两平方可积函数,两函数之间的相关系数用γ表示,两项误差的幅值为δ=[δ1δ2]T.①合并相似项估计可能引入的误差当误差传递函数之间的相似性很大的时候,采取的策略是仅辨识误差传递函数之间的相关系数较接近于零的几项误差,而对于误差传递函数之间的相关系数接近于1或接近于-1的误差仅辨识其中一项,也就是将由这几个误差引起的误差之和看作是由其中一项误差引起的误差,这样就能够避免出项病态的情形.但由于传递函数不可能完全一致,合并估计必然带来误差,这里以两个相似函数为例来研究合并估计引入的误差.根据泛函分析相关理论[9],以f1(x)最佳平方接近f2(x),然后仅以f1(x)来辨识,由此引入的误差为:
式(9)表明,合并相似项引入的误差与误差项的幅值成正比,且随两者之间的相似性的提高而减小.②不合并相似项估计可能引入的误差若两函数近似成线性时仍然将他们分开估计,这可能会引入病态矩阵,从而会引入三个方面的误差:病态矩阵求逆误差;误差函数的不准确会引入辨识结果偏差;由于条件数比较大,噪声信号对误差辨识的结果影响就会增大.可以用高精度的算法求解式(6)来减小第一种误差.另外二种误差属于系统误差,不可能用高精度算法来减小,下面分析后两种误差与函数相关系数之间的关系.由矩阵理论[10]可估计出:
数值计算相关结论表明,用式(6)进行辨识时由于病态矩阵的存在,系数矩阵存在的误差所导致辨识结果的相对误差上限[9]为:
将式(10)代入式(11),可得:
式(12)表明,当‖A-1‖‖δA‖<<1时,矩阵A的相对误差可能会被放大(1-γ2)-1倍后引入辨识结果中去.同时εc由中所含的误差υ引入的辨识结果的相对误差上限[9]为:
将式(10)代入式(13),可得:
式(12)表明,面形误差测量的相对误差可能会被放大(1-γ2)-1倍后引入辨识结果中去.式(12)和式(14)表明,分开相似项引入的误差随两者之间的相似性的提高而增大.③处理方法在实际辨识中出现此种情形,先根据式(9),式(12)和式(14)估计出辨识误差,然后判断是合并估计还是分开估计.一般来讲当相关系数不是太大时,在初始的几步加工中,由于面形测量信号的信噪比比较大,可以分开辨识,但由于噪声总是存在的,估计误差总是存在的,故不将辨识出的误差全部补偿.当加工出的工件面形已经比较好时,信噪比降低,这时进行合并估计,同样也不将辨识出的误差全部补偿.这样做与实际情况也较为符合,刚开始加工时各项误差都比较大,如对刀误差,刀具半径误差等,故分开辨识以尽可能地补偿各项误差,但加工的最后几步,各项误差都已比较小,此时分开辨识比较适宜.
3实验研究
由于点接触加工方式与一般的用机床走母线的加工方式很接近,故而这里在普通机床做误差辨识和补偿试验.试验加工的对象方程为:加工的工件为:t2+yr2-790f=0,口径为212mm.加工角度为-60°.实验采用实验室自研的光学非球面复合加工机床[7]机床具有X,Y,Z,A,C五轴数控联动功能,在全行程内,镜面抛光机的综合精度达到3μm.各误差项的传递函数如图2所示.沿回转轴平动误差和绕回转轴的转动误差的误差传递函数fδf(r)和fδα_f(r)为零,表明了此两项误差对最终面形的影响是误差的二阶小量以上,此处忽略不计.

(a)δt的误差传递函数 (b)δyr的误差传递函数
各误差的传递函数明显分成两类:沿t轴线性误差对工件误差的传递函数ft(r),绕yr轴误差对工件误差的传递函数fα_δyr(r)和刀具半径误差对工件误差的传递函数fgp(r)近抛物线,沿yr轴线性误差对工件误差的传递函数fδyr(r)和绕t轴误差对工件误差的传递函数fδα_t(r)近线性.各类函数内的相关函数为:
由于两类函数内的相关系数都为1,从而只能以两类函数中的一个函数来辨识,根据式(59)这样做不会引入误差.从而在实验中可以仅选取两类函数中的一个进行辨识,这里根据实际情况选取δyr和gp进行辨识.两类函数之间的相关系数为γ(δy,gp)=0.9684,几乎接近于1.这里采用第三节中的策略.在初始面形误差比较大时分开估计,补偿gp和δyr,当面形精度较高时采用合并估计的方法,选取δyr作为估计补偿对象.同时,在补偿的时候不是将辨识出的误差值全部补偿掉,而是仅仅补偿30%～50%.图3是各次加工补偿后的面形误差图.图的横坐标是工件的回转半径,单位为mm,图的纵坐标是面形误差,单位为mm.如图3,第1次加工所得面形的RMS值为13.1μm,采用双项辨识,辨识出δy=-0.1716mm,δgp=-0.0109mm,补偿辨识所得误差的50%后再进行加工后结果如图3(b).第2次加工所得面形的RMS值为8.8μm,采用双项辨识,辨识出δy=-0.178mm,δgp=0.7688mm,辨识结果与第一次相差不大,可能是由辨识误差造成的,补偿辨识所得误差的50%后再进行加工后结果如图3(c).第3次加工所得面形的RMS值为4.1μm,采用单项辨识,辨识出δy=-0.0205mm,补偿辨识所得误差的30%后再进行加工后结果如图3(d).第4次加工所得面形的RMS值为2.0μm,面形的PV值为8μm.
通过三次补偿加工面形的RMS从13.1μm降为2.0μm,镜面抛光机效果较明显,再补偿由于机床的精度限制,效果就不会很明显了.

    综上所述:利用基于椭圆路径的误差模型和最小二乘准则,建立回转二次曲面加工的误差辨识,反馈加工流程.具体分析了误差传递函数存在相似项时分开,合并辨识的所引入的辨识误差,并基于此分析提出了处理相似项误差的策略.实验证明,此辨识-反馈法和相似项处理策略能够大大提高加工精度.